레버리지조정 듀레이션갭을 이용한 금리리스크 측정

 2024년 9월 11일에 게시됨  |  3 분  |  471 단어

앞서 듀레이션을 구하는 방법을 알아봤다. 이제 재무상태표상의 듀레이션갭을 측정하여 금융기관의 전체적인 금리리스크 노출을 평가해보려한다. 전체 자산이나 부채의 듀레이션은 재무상태표에 있는 개별 자산이나 부채의 듀레이션을 각 항목이 전체 자산 혹은 부채에서 차지하는 시장가치를 기준으로 가중평균한 값이다.

조금 풀어 이야기하면, 시장가치기준, 즉 각각의 자산/부채의 현재가치(PV)와 듀레이션을 구해 놓고, 전체 자산/부채의 현재가치(PV)의 합에서 개별 자산이 차지하는 현재가치의 비중에 개별 듀레이션을 곱해서 더하면 된다.

듀레이션의 가중평균 공식

자산의 듀레이션 가중평균 합의 공식은 아래와 같다.(부채도 동일하다.)

DA=∑i=1mwi⋅Di D_A = \sum_{i=1}^{m} w_i \cdot D_{i}
  • DA D_A : 전체 자산 포트폴리오의 듀레이션
  • m m : 자산의 종류 수 (예: m개의 자산이 포트폴리오에 포함됨)
  • wi w_i : 각 자산 i i 의 비중 (해당 자산의 현재가치가 전체 자산에서 차지하는 비율)
  • Di D_{i} : 자산 i i 의 듀레이션

예를 들어, 자산포트폴리오에서 듀레이션이 8.5년인 국채가 시장가치로 자산의 10%를 차지하고, 나머지는 듀레이션이 3년인 자산이 차지하고 있다고 하자. 그러면 이 회사의 듀레이션은 아래의 식으로 구할 수 있다.

DA=0.1×8.5+0.9×3=4.75년 D_A = 0.1 \times 8.5 + 0.9 \times 3 = 4.75년

레버리지조정 듀레이션갭

채권과 같이 자산이나 부채역시 시장이자율의 변동에 따라 그 가치가 수시로 변화한다고 보아야 하고, 그에 따라 채권가격 변화율의 수식을 자산과 부채로만 대체시키면 아래와 같이 정의할 수 있다. LL 은 현재가치 기준의 부채, AA 는 현재가치 기준의 자산이다.

ΔAA=−DAΔi1+i \frac{\Delta A}{A} = - D_A \frac{\Delta i}{1+i} ΔLL=−DLΔi1+i \frac{\Delta L}{L} = - D_L \frac{\Delta i}{1+i}

그래서 위 수식 2개를 ΔA=ΔL+ΔE\Delta A = \Delta L + \Delta E 에 대입하여 정리하면 아래와 같은 관계식을 얻는다.

ΔE=−(DA−LADL)×A×Δi1+i \Delta E = - (D_A - \frac{L}{A} D_L) \times A \times \frac{\Delta i}{1+i}

k=L/Ak = L / A 라고 하면, 아래와 같이 정리할 수 있다.

ΔE=−(DA−kDL)×A×Δi1+i \Delta E = - (D_A - k D_L) \times A \times \frac{\Delta i}{1+i}
  • ΔE\Delta E : 자본가치의 변동
  • DA−kDLD_A - k D_L : 레버리지조정 듀레이션갭
  • AA : 금융기관의 자산규모
  • Δi/(1+i){\Delta i} / {(1+i)} : 이자율변동의 크기

만약, 수정듀레이션값 Dm=D/(1+i)D_m = D / (1+i) 을 사용하게 되면, 조금 더 수식을 단순화 시킬수 있다.

ΔE=−(DmA−kDmL)×A×Δi \Delta E = - (D_{mA} - k D_{mL}) \times A \times {\Delta i}

간단한 예시

예를 들어, 자산과 부채의 듀레이션을 각각 5년, 3년이라고 가정한다. 이자율 동향을 알아보니, 10%에서 11% 로 1% 상승할 것이라고 예측되었다. 그리고 현재가치로 자산금액이 100억원이고, 자산대비 부채비율은 0.9 라고 한다면, 레버리지조정 듀레이션갭은 2.3년 이다.

레버리지조정듀레이션갭=DA−LADL=5−0.9×3=2.3년 레버리지조정 듀레이션갭 = D_A - \frac{L}{A} D_L = 5 - 0.9 \times 3 = 2.3년

원래 재무상태표는 아래와 같다고 가정할때, 자산금액이 100억원이고, 이자율이 0.1% 상승되므로, 예상손실금액은 아래와 같이 추정할 수 있다.

차변 대변
자산(A) 100 부채(L) 90
자기자본(E) 10
ΔE=−2.3년×100억원×0.011+0.1=−2.09억원 \Delta E = - 2.3년 \times 100억원 \times \frac{0.01}{1 + 0.1} = - 2.09억원

0.1% 상승된, 시장가치의 재무상태표는 아래처럼 변한다.

차변 대변
자산(A) 95.45 부채(L) 87.54
자기자본(E) 7.91

자산만 한번 직접계산해본다. -4.54 변동분이 생겼으므로, 시장가치의 자산은 95.45 로 계산된다.

ΔA=−A⋅DAΔi1+i=−100×5×0.011+0.1=−4.545455 \Delta A = - A \cdot D_A \frac{\Delta i}{1+i} = - 100 \times 5 \times \frac{0.01}{1+0.1} = -4.545455
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