앞서 듀레이션을 구하는 방법을 알아봤다. 이제 재무상태표상의 듀레이션갭을 측정하여 금융기관의 전체적인 금리리스크 노출을 평가해보려한다. 전체 자산이나 부채의 듀레이션은 재무상태표에 있는 개별 자산이나 부채의 듀레이션을 각 항목이 전체 자산 혹은 부채에서 차지하는 시장가치를 기준으로 가중평균한 값이다.
조금 풀어 이야기하면, 시장가치기준, 즉 각각의 자산/부채의 현재가치(PV)와 듀레이션을 구해 놓고, 전체 자산/부채의 현재가치(PV)의 합에서 개별 자산이 차지하는 현재가치의 비중에 개별 듀레이션을 곱해서 더하면 된다.
듀레이션의 가중평균 공식
자산의 듀레이션 가중평균 합의 공식은 아래와 같다.(부채도 동일하다.)
$$ D_A = \sum_{i=1}^{m} w_i \cdot D_{i} $$- \( D_A \) : 전체 자산 포트폴리오의 듀레이션
- \( m \) : 자산의 종류 수 (예: m개의 자산이 포트폴리오에 포함됨)
- \( w_i \) : 각 자산 \( i \)의 비중 (해당 자산의 현재가치가 전체 자산에서 차지하는 비율)
- \( D_{i} \) : 자산 \( i \)의 듀레이션
예를 들어, 자산포트폴리오에서 듀레이션이 8.5년인 국채가 시장가치로 자산의 10%를 차지하고, 나머지는 듀레이션이 3년인 자산이 차지하고 있다고 하자. 그러면 이 회사의 듀레이션은 아래의 식으로 구할 수 있다.
$$ D_A = 0.1 \times 8.5 + 0.9 \times 3 = 4.75년 $$레버리지조정 듀레이션갭
채권과 같이 자산이나 부채역시 시장이자율의 변동에 따라 그 가치가 수시로 변화한다고 보아야 하고, 그에 따라 채권가격 변화율의 수식을 자산과 부채로만 대체시키면 아래와 같이 정의할 수 있다. \(L\) 은 현재가치 기준의 부채, \(A\) 는 현재가치 기준의 자산이다.
$$ \frac{\Delta A}{A} = - D_A \frac{\Delta i}{1+i} $$ $$ \frac{\Delta L}{L} = - D_L \frac{\Delta i}{1+i} $$그래서 위 수식 2개를 \(\Delta A = \Delta L + \Delta E\) 에 대입하여 정리하면 아래와 같은 관계식을 얻는다.
$$ \Delta E = - (D_A - \frac{L}{A} D_L) \times A \times \frac{\Delta i}{1+i} $$\(k = L / A\) 라고 하면, 아래와 같이 정리할 수 있다.
$$ \Delta E = - (D_A - k D_L) \times A \times \frac{\Delta i}{1+i} $$- \(\Delta E\) : 자본가치의 변동
- \(D_A - k D_L\) : 레버리지조정 듀레이션갭
- \(A\) : 금융기관의 자산규모
- \({\Delta i} / {(1+i)}\) : 이자율변동의 크기
만약, 수정듀레이션값 \(D_m = D / (1+i)\) 을 사용하게 되면, 조금 더 수식을 단순화 시킬수 있다.
$$ \Delta E = - (D_{mA} - k D_{mL}) \times A \times {\Delta i} $$간단한 예시
예를 들어, 자산과 부채의 듀레이션을 각각 5년, 3년이라고 가정한다. 이자율 동향을 알아보니, 10%에서 11% 로 1% 상승할 것이라고 예측되었다. 그리고 현재가치로 자산금액이 100억원이고, 자산대비 부채비율은 0.9 라고 한다면, 레버리지조정 듀레이션갭은 2.3년 이다.
$$ 레버리지조정 듀레이션갭 = D_A - \frac{L}{A} D_L = 5 - 0.9 \times 3 = 2.3년 $$원래 재무상태표는 아래와 같다고 가정할때, 자산금액이 100억원이고, 이자율이 0.1% 상승되므로, 예상손실금액은 아래와 같이 추정할 수 있다.
| 차변 | 대변 |
|---|---|
| 자산(A) 100 | 부채(L) 90 |
| 자기자본(E) 10 |
0.1% 상승된, 시장가치의 재무상태표는 아래처럼 변한다.
| 차변 | 대변 |
|---|---|
| 자산(A) 95.45 | 부채(L) 87.54 |
| 자기자본(E) 7.91 |
자산만 한번 직접계산해본다. -4.54 변동분이 생겼으므로, 시장가치의 자산은 95.45 로 계산된다.
$$ \Delta A = - A \cdot D_A \frac{\Delta i}{1+i} = - 100 \times 5 \times \frac{0.01}{1+0.1} = -4.545455 $$